Mathematica perennis și structurile algoritmice ale realității

Dana Jalobeanu

(Paolo Zellini, Matematica zeilor și algoritmii oamenilor, traducere de Liviu Ornea, Humanitas 2018)

ZeliniRareori dai peste o carte care să te provoace cu atâtea afirmații tari. Matematica nu inventează, ci descoperă structuri fundamentale ale realității. Și nu de azi de ieri, ci dintotdeauna. Căci matematica, chiar mai mult decât filosofia (căreia-i slujește drept model) este o mathematica perennis ce însoțește, de la începuturi, dezvoltarea cognitivă a umanității. Lucru pe care-l scăpăm din vedere adesea; dar asta doar pentru că nu cunoaștem istorie.

 […] dacă ne întoarcem la istoria sa îndepărtată și la motivațiile ei cele mai profunde, matematica apare orientată diferit de cum e percepută în mod obișnuit. Izvoarele ne fac să înțelegem că aritmentica și geometria din vechime începuseră să-și asume sarcina nu atât de a descrie sau de a simula lucruri reale, cât de a oferi o fundamentare a însăși realității lumii din care ele făceau parte. Tocmai entitățile concrete, acelea cele mai direct și nemijlocit perceptibile, erau schimbătoare și apăreau ca ireale. În numere, în schimb, în raporturile și figurile geometriei era de găsit ceea ce le sustrăgea instabilității și evanescenței. (5-6)

Care sunt aceste fundamente matematice pe care se poate reconstrui lumea? Pentru pitagoreici sunt numerele. Pentru platoniști, figurile geometrice (solidele perfecte) și rapoartele (matematice, muzicale). Sau poate nu? Carlo Zellini ne propune o altă abordare a acestei vechi probleme. El susține că ceea ce și pitagoreicii, și platoniștii încearcă să exprime este o formă matematică mai fundamentală decât figura sau numărul. Ceea ce noi, astăzi, numim algoritm: „un proces de calcul care se desfășoară într-un numări finit de pași, în spațiu și timp, pornind de la o mulțime de date inițiale, până la un rezultat final”. (6)

Algoritmii sunt definiți formal destul de târziu în istoria matematicii; abia în anii 30 ai secolului trecut. Însă principiul lor, încercarea de a modela controlat un proces de creștere (a numerelor și mărimilor) este mult mai vechi decât atât. Îl găsim în secolul al XIX-lea, în încercările de redefinire a teoriei numerelor. Îl găsim în secolul al XVII-lea, în încercările de a modela curbe complexe și de a aproxima mișcări, întinderi sau suprafețe. Dar și mult înainte de asta

[…] motivul creșterii, în orice aspect al său, a suscitat deja atenția anticilor și tocmai modul în care e tratată creșterea mărimilor în geometria antică, în calculele vedice și în matematica mesopotamiană ne ajută să înțelegem cauzele creșterii numerelor în algoritmii moderni. Motivul e pe cât de simplu, pe atât de surprinzător: unele scheme de calcul importante au rămas neschimbate din acea vreme și până azi, când apar cele mai complex strategii pe care le utilizează calculul la scară mare.

Escher 2Zellini susține proiectul unei mathematica perennis; o matematică care a fost, în esență, mereu aceeași, însoțind devenirea noastră culturală și civilizațională de la începuturi și până astăzi. O matematică al cărei scop principal era modelarea proceselor de creștere – naturale, artistice sau tehnologice. Cartea lui Zellini ne oferă o fascinantă istorie a câtorva astfel de procese în care vede nici mai mult nici mai puțin decât o întâlnire între un proiect uman și un principiu divin: multiplicarea formelor geometrice în construcția templelor și altarelor antice, după indicațiile și la comanda zeului, un fel de „calculabilitate” implicită în formularea ritualurilor (în India vedică sau la caldeeni), modelarea și măsurarea unui univers făurit (de Demiurgul geometru) dar aflat, în același timp, în plină devenire, precum și ceea ce Zellini numește „relația enigmatică” și „tensiunea problematică” între număr și figură din care au derivat, de-a lungul timpului, concepte fundamentale pentru matematică (dar și pentru filosofie).[1]

Așa se constituie, după Zellini, „combinația originară” de filosofie, teologie și matematică sau, în termenii cărții, „matematica zeilor” pe care oamenii nu făceau decât să încerce să o pună în practică (acțiune în care dezvoltau tehnici și concepte).

Oricât de sărace ar fi izvoarele, suntem îndreptățiți să credem că matematica și filosofia, geometria și religia, calculul și metafizica descind dintr-o unică, măreață combinație reciprocă originară. Combinație care nu compromite nicicum specificitatea cunoașterii matematice, nu implică faptul că matematica ar servi la altceva sau că ar avea nevoie de justificări exterioare.[…] Calculele apar aride și exterioare domeniului filozofic sau religios, dar e doar o aparență: religie și matematică, metafizică și calcul, acțiune rituală și gând exact par să se combine, la începuturi, într-un unic, impunător coropus. O combinație care se întrezărește în marile desene ale cosmologiei antice, în intuițiile primilor filozofi, ba chiar și în strategiile computaționale și în calculele cele mai delicate cu care erau familiarizați matematicienii greci, indieni, chinezi și babilonieni. (22)

Matematica era a zeilor nu doar pentru că zeii sunt cei „transparenți și veridici” și deci „exacți” (23) ci pentru că se exprima în „enigme” (paradoxurile lui Zenon fiind exemplul standard), asemenea Oracolului. În spatele acestor enigme, problemele originare puse de zei omenirii stau, ne spune Zellini, „schemele fundamentale pe care s-au fundamentat algebra și analiza până în zilele noastre” (25). Cartea lui Zelini oferă numeroase exemple istorice în sprijinul acestor afirmații tari; unele capitole sunt adevărate înșiruiri de exemple. Din păcate, niciunul dintre exemplele propuse nu este reconstruit în detaliu. Cititorului i se oferă suficient pentru a intriga și, eventual, pentru a trezi o reacție de entuziasm, curiozitate sau neîncredere, dar nu suficient pentru a ilumina sau persuada. Trecerile abrupte de la babiloneeni și caldeeni la India Vedică, de la Grecia pre-socratică la Europa modernă și de la elenism la secolul XIX sunt, mai curând, de natură să te pună pe gânduri.

Desigur, istoria reconstruită de Zellini are o întemeiere filosofică. Mathematica perennis e o instanțiere a unui proces natural de descoperire, însuși procesul prin care mintea umană își negociază situarea în realitate. În acest îndelungat proces, nu doar că matematica, filosofia și teologia pleacă de la o origine comună; ele sunt, pare să ne spună autorul, într-un permanent raport de colaborare și fertilizare reciprocă. Și nu e vorba doar de împrumuturi conceptuale. Matematica și filosofia descoperă împreună un vocabular cu puncte comune „formulele matematice” și „formulele filosofice” (Cap. 3) constituite în antichitate, și având tendința să se perpetueze, să se reproducă și să se complexifice în aceeași stare de inter-dependență reciprocă în care se și ivesc, pentru prima oară. Filosofia împrumută de la matematică termeni pentru aproape toate problemele de care se ocupă: raportul matematic (logos) devine discurs filosofic, sau lege a naturii, iar unitatea din care se extrăgeau, cu ajutorul unor algoritmi avant-la-lettre „rapoartele numerice care aproximau un număr irațional” (spermatikos logos) devine, la stoici, rațiunea seminală (32). Tot stoicii preiau un termen euclidian care desemna metoda de căutare a divizorului a două mărimi (antanairesis) și fac din el un termen pentru „înțelepciunea vizionară” (33). Termenul euclidian pentru punctul geometric (semeion) ajunge să constituie însuși nucleul vitalismului în Renaștere (când teoria biologică, alchimică sau cosmologică vorbea despre semințele fără dimensiune ale tuturor lucrurilor). Iar împrumuturile nu se opresc aici. „Principiul continuității”, element esențial al construcției galileene a unei științe a mișcării este un împrumut din matematică unde funcționa încă din antichitate (36). Una dintre cele mai interesante discuții propuse de Zellini este cea pe marginea termenului matematic de dynamis. Acesta, în matematica greacă „denumește latura unui pătrat, sau rădăcina pătrată a numărului care-o măsoară aria.” (54) În genere, dynamis trimite la „posibilitatea ori la capacitatea de a fi sau de a deveni ceva”; acest termen figurează în dialogul platonician Menon, în celebrul fragment în care, cu ajutorul lui Socrate, copilul-sclav descoperă (își reamintește) construcția care duce la rezolvarea unei teoreme de geometrie. Zellini citește interesant interacțiunea matematică-filosofie cuprinsă în această „formulă” numită dynamis[2].

În toate aceste cazuri [inclusiv în demonstrația din Menon], esențial este fenomenul producerii: o entitate matematică produce o alta, ca și cum ar fi vorba despre o forță de amplitudine progresivă, inerentă entităților matematice înseși. Mai târziu, se va spune, în mod asemănător, că aritmetica fracțiilor produce fenomene care permit recunoașterea și definirea de noi entități numerice: numerele reale, definite de Dedekind ca tăieturi vor fi produse de proprietăți particulare ale numerelor raționale. (55-56)

În această concepție dinamică crede Zellini că se află prefigurarea noțiunii moderne de algoritm: cel care ne dă „legea” sau „formula” creșterii care îi fascina atât de mult pe matematicienii și filosofii antichității. Și tot această concepție dinamică stă la baza unei unități fundamentale între fizică și matematică. Matematicianul, conform lui Zellini, nu modelează și nu descrie lumea fizică. El o construiește. Iată de pildă ce spune Dedekind:

[…] cel mai mare și avantajos progres în matematică și în alte științe a constat invariabil în crearea și introducerea de concepte noi, devenite necesare prin apariția frecventă a unor fenomene complexe care doar cu mare dificultate puteau fi controlate de vechile noțiuni. (citat la pagina 119)

Construcția pornește de la puterea generatoare a algoritmului, chiar dacă, post-factum, matematicianul rescrie teoria pornind de la definiții abstracte (cum susține Zellini că face Dedekind, vezi pp. 108-110). Sau, reluând cuvintele lui Platon din Sofistul „entitățile nu sunt altceva decât puterea de a produce” (Sofistul 247d-e, citat la p. 119).

Așa se explică, ne spune Zellini, aparent iraționala eficacitate a matematicii în științele naturale; matematicianul doar pare că inventează concepte. De fapt, definițiile lui teoretice rescriu structuri fundamentale ale „realității matematice” .

Iar clasa realităților matematice – matematica zeilor – nu este alta decât mulțimea încă insuficient explorată a algoritmilor, tema centrală a calculului numeric modern. Pentru mine, partea cea mai interesantă a cărții lui Zellini a fost cea în care sunt creionate cele trei momente cruciale ale descoperirii în matematică care au dus, în final, la „revoluția digitală”. Primul dintre acestea, descoperirea calculului infinitezimal (în faimoasa dispută dintre Leibniz și Newton) a fost urmat, la sfârșitul secolului al XIX-lea, de „aritmetizarea analizei” în care Zellini vede deja „germenii celei de-a treia revoluții: deplasarea de la principiul conform căruia orice raționament se putea reduce la conceptul de număr, la aplicarea unei variatăți de metode pentru calculul unor mulțimi de numere. Algoritmii și listele de numere calculate moșteneau informați din modelele inițiale și o traduceau, sub auspiciile unui autentic reducționism, la un nivel descriptiv diferit și mai elementar. Posibilitatea teoretică de a reduce analiza la număr și la operații de trecere la limită trebuia să se trasforme într-o aritmetizare efectivă”. (130)

Cum ajunge această aritmetizare târzie să „redescopere” structuri și scheme ale matematicii antice? (138). Zelini recunoaște că legătura nu e nici imediată nici problematică și că modul în care spunem „Calculul mai avansat a moștenit în mod surprinzător schemele matematicii antice, aceea inspirată de la zei” (138) trebuie precizat și calificat. Zellini alege să facă acest lucru discutând calculul analogic, matricial și felul în care, în acesta, pentru matematicieni ca John von Neumann, de pildă, fizica și matematica ajung să se suprapună „într-o idee extinsă de realitate” în care „structura cea mai abstractă” contează exact tot atât cât „lista de cifre […] pe care un calculator o printează cât se poate de material la sfârșitul unui proces de calcul.”(153). În această „realitate extinsă” calculul digital pare să întruchipeze – sau cel puțin să ne amintească de – ideea antică de dynamis.

Din nou, partea „modernă” a istoriei pe care ne-o propune Zellini este mai degrabă schițată decât dezvoltată. S-ar putea ca aici să stea și o parte din farmecul unei cărți care te provoacă la fiecare pagină, trimițându-te să citești și să te edifici singur. Puteți citi cartea lui Zellini în câteva ore; dar ar fi păcat. Mie mi-a luat niște săptămâni bune în care am colindat pe urmele surselor indicate în treacăt pe o pagină sau alta: de la Platon și Aristotel la Galileo, Newton și Leibniz, Cantor și Dedekind. În acest fel, Zellini poate fi punctul de plecare al unei fascinante aventuri intelectuale pe care o recomand cu toată căldura.

 

Note: [1] Concepte precum incomensurabilitatea, structura continuului, constructibilitatea efectivă sau aproximarea. Vezi Zelini, p. 22. [2] Zelini vorbește de „formule” în sensul generativ: o formulă are capacitatea de a produce sau multiplica soluții sau rezultate. Vezi cap. 3 și 4.

Published by

danajalobeanu

Associate Professor in Philosophy, Department of Theoretical Philosophy, University of Bucharest.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s